К оглавлению журнала

 

УДК 551.2.02

© И.Ф. Радковец, 1997

ОБ ЭФФЕКТИВНОМ НАПРЯЖЕНИИ И ОПЫТАХ ТЕРЦАГИ

И.Ф. Радковец (ЗапСибНИИгеофизика)

Связь между горным давлением Ргор, напряжением в скелете породы Рск (иначе его называют эффективным) и давлением в насыщающей жидкости Рпл описывается широко известной формулой [1,2,4]

Ргор = Рск + Рпл (1)

(здесь и далее Ргор и Рск означают вертикальные составляющие указанных параметров) .

При записи уравнения (1) обычно рассуждают следующим образом. Пластовое давление жидкости способствует уменьшению нагрузки, передающейся на скелет породы от массы вышележащих отложений (если кровля пласта непроницаема) [1, с.67]. Тогда давление на скелет породы будет равно:

Рск = Ргор Ррпл (2)

Параметры Ргор и Рпл определяются выражениями

Pгор=dГПgH, (3)

Рпл=dвgН, (4)

где dГП и dВ - плотность насыщенных горных пород и воды соответственно;g - ускорение свободного падения; Н - глубина до точки определения параметров.

Отсюда легко находят Рск:

Рск=gH(dгп-dВ). (5)

Однако значение параметра Рск, вычисленное по формуле (5), значительно меньше фактически существующих напряжений в природе. Видимо, поэтому было решено, что не вся величина пластового давления направлена на разгрузку горного, и поэтому при параметре Рпл в уравнении (1) справедливо появляется коэффициент n, а формула (2) принимает вид

Рск = Ргор - n Рпл (6)
где 0<
n < 1.

Однако подлинной причиной нарушения равенств (1) и (2) явилось то, что они записаны вопреки законам физики. Дело в том, что пластовое давление противодействует горному не по всей площади сечения горной породы, а лишь на участках, занятых жидкостью. Поэтому в уравнении (2) давления необходимо выразить через силы и потом уже производить операцию сложения (или вычитания).

Пусть на некотором участке отложений вся площадь горизонтального поперечного сечения пород равна S, а часть сечения, приходящаяся на пористую среду, равна Sп. Тогда вместо уравнения (2) следует записать:

Рск(S – Sп)= Ргор S - Рпл Sп (7)

откуда после ввода нового параметра коэффициента просветности, равного

KS=Sп/S, (8)
и после преобразований получим:

Pгор=Рск(1-Ks)+PплKs. (9)

Если произвести вычисление напряжения Рск исходя из формулы (9), то окажется, что оно не только не меньше горного давления, но даже больше него, поскольку противодействующая массе вышележащей толщи сила

FПЛплSп (10)

меньше силы, создаваемой на этих же площадках массой пород

Fгор =Pгор Sп (11)

Fпл не компенсирует Fгор полностью, и эта нескомпенсированная часть в результате будет приходиться на твердую фазу пород, увеличивая в ней напряжение.

Для того чтобы объяснить причину возникновения формул (1) и (2), необходимо рассмотреть их происхождение.

Немецкий исследователь Терцаги на основании лабораторных опытов Рендулика и своих собственных [3] пришел к выводу, что если на пористый образец, помещенный в непроницаемую оболочку, окаймляющую его боковую поверхность, сверху давит столб воды, то при отсутствии разделяющей пластины это давление не вызывает деформации грунта (рисунок). При действии каких-нибудь иных механических сил (например, эквивалентных действию массы свинцовой дроби) слой грунта окажется заметно сжатым. На основании этого Терцаги предположил, что сжимающее напряжение в водонасыщенном грунте включает в себя две составляющие нейтральное гидростатическое давление Pw и эффективное sэф. Сумму этих давлений он назвал полным

s = sэф+Pw. (12)

Для того чтобы можно было подтвердить это замерами, были произведены испытания образцов по следующей схеме: в дополнение к осевому давлению s', действующему посредством пластины, было добавлено всестороннее Рвс с помощью сжатого воздуха или глицерина (см. рисунок). К жидкости, насыщающей поры, через фильтрующий камень подсоединены манометр и кран. Так как обе составляющие создают напряженное состояние образца, то было решено, что каждое его горизонтальное сечение испытывает вертикальное напряжение, равное сумме осевого давления и всестороннего

sг=s'+Рвс, (13)

а каждое вертикальное сечение только всестороннее давление

sII= sIII = рвс (14)

На основании таких лабораторных опытов Терцаги и Рендулик сделали вывод, что деформация образца e и сопротивление сдвигу с зависят от разницы между полным напряжением и давлением в порах Pw, т.е. от эффективного давления:

e=f(sэф) (15)

c =f (sэф) , (16)

где sэф = s'+Pвс-Pw. (17)

Получение такого результата лабораторными опытами можно подтвердить и теоретически.

С учетом уравнения (17) найдем частное от деления деформации на эффективное напряжение:

Из определения коэффициента упругости относительная объемная деформация образца e может быть найдена по формуле

e = s0b0. (19)

Назовем породы пропорционально сжимающимися, для которых

e = eск , (20)

В этом случае давление в насыщающей жидкости (Радковец И.Ф., Радковец Н.Л., 1990) определяется уравнением

Pw=s0=b0/bж, (21)

где b0, bж - коэффициенты упругости горной породы и жидкости соответственно; s0 - среднее напряжение в образце (находится согласно теории упругости), равное:

Подставляя выражения (19), (21) и (22) в правую часть уравнения (18), получим:

Для прямой пропорциональности между e и sэф необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось условие: e/sэф = const. (24)

Найдем предел отношения (24) при V-> 0,5:

Из уравнения (25) видно, что при коэффициентах Пуассона, равных 0,5, существует прямая пропорциональная зависимость между e и sэф. С уменьшением значения v зависимость (15) отклоняется от прямой линии.

Если относительные деформации eск и e не равны между собой, то давление в порах может быть представлено общим уравнением

где bск - коэффициент упругости скелета.

Решая аналогичным образом при V = 0,5, получим также:

Терцаги и Рендулик работали с грунтами песком и глиной. Коэффициенты Пуассона для таких пород довольно велики, поэтому они могли с достаточной степенью точности получить прямую пропорциональную зависимость между eи sэф в некотором небольшом диапазоне изменения внешних сжимающих сил, пока упругие свойства образцов сохранялись постоянными. В других случаях (небольшие значения v, изменяющиеся коэффициенты упругости) зависимость e =f(sэф) должна отклоняться от прямолинейной, но эти случаи не характерны для грунтов, поэтому Терцаги обнаружил только прямую пропорциональность. И поскольку при этом значение e не зависит от Pw, то он и предложил уравнение (12), которое впоследствии было использовано в геологии.

Насколько правомерно переносить результаты лабораторных исследований в условия естественного залегания горных пород, в настоящей статье не рассматривается. Но поскольку этот перенос уже осуществлен, уточним, что определяет sэф для отложений в земной коре. Обратимся к первому опыту Терцаги, когда при отсутствии металлической пластины сверху непосредственно на образец давит столб жидкости (см. рисунок). Отсутствие деформации грунта в этом случае можно объяснить тем, что вода заполняет все поры образца и ее давление, распределяясь по всем направлениям, действует на каждую частицу в отдельности. Последние, деформируясь, уменьшаются в размерах. Следует полагать, что настолько же увеличивается и пористое пространство, поэтому общие размеры образца остаются без изменений. На этом основании Терцаги назвал давление воды нейтральным. Такое же действие оказывает на горные породы в земной коре насыщающая их жидкость. Поэтому пластовое давление также можно назвать нейтральным. Давление же твердой ненасыщенной вышележащей толщи отложений, аналогичное действию свинцовой дроби на образец, деформирует залегающие породы и поэтому его следует называть эффективным. Полное напряжение в этом случае в соответствии с формулой (12) будет

s = sэфпл. (28)

Параметр sэф можно выразить уравнением

sэф=dскgН, (29)

где dck - средняя плотность скелета вышележащих отложений.

Уравнение (28) выражает не суть формулы (1), записанной вначале: параметр s вовсе не равен Ргор. Это видно из следующего.

Для определения sэф плотность скелета породы можно найти из системы уравнений

где dТ - плотность твердой фазы породы Kп - коэффициент пористости,

решая которую, получим:

dск = гп -ВКП. (32)

По известной плотностиck определяются эффективное и полное напряжения:

Сравнивая уравнения (5) и (33), (3) и (34), приходим к выводу, что

sэф>Pск, (35)
а

s>Ргор. (36)

Эти различия, казалось бы, в одинаковых параметрах произошли вследствие того, что общее напряжение, создаваемое массой насыщенной горной породы, не равно полному напряжению, т.е. сумме обеих составляющих, существующих в каждой фазе отдельно. Терцаги лишь ввел понятия полного и эффективного напряжения. Рассмотрим теперь физический смысл каждого из них.

Если толща отложений до некоторой глубины состоит из одних коллекторов, то эффективное напряжение создается только твердой фазой вышележащих пород и действует как вне каждой частицы, сдавливая их между собой, так и внутри частиц. Образуется некоторое среднее напряжение на контакте и внутри всех частиц, вместе взятых. Поэтому оно и оказывает влияние на деформацию и сопротивление сдвигу.

Гидростатическое давление образуется насыщающей жидкостью и действует на каждую частицу в отдельности, не прижимая их друг к другу. Поэтому внутри частиц создается напряжение, равное сумме обеих составляющих, т.е. полное напряжение, а на контакте между ними только одно, эффективное.

Горное же давление Ргор создается смесью породы с водой и определяется плотностью этой смеси, которая равна не сумме составляющих плотностей, как это следует из уравнений (1)-(5), а сумме их долей. Для определения Ргор необходимо прежде найти суммарную плотность по формуле (31). Тогда

Горное давление (вернее, его вертикальная составляющая) создается под плотным слоем. В этом случае эффективное давление в скелете залегающего ниже пласта-коллектора будет определяться исходя из формулы (9):

Таким образом, на основании опытов Терцаги можно сделать следующие выводы.

Эффективное напряжение формируется в твердой фазе пористого пласта и определяется двумя факторами:

1. Массой скелета вышележащей толщи, если последняя также пористая; в этом случае эф находится по формуле (33).

2. Массой всей вышележащей толщи, если в кровле коллектора залегает плотный пласт; тогда эф вычисляется по формуле (38).

Сумма эффективного напряжения с пластовым давлением составляет полное напряжение (не равное горному) и соответствует выражениям (28) и (34).

Горное давление Ргор определяется формулой (3) и меньше полного, в результате чего выражение (1) является неравенством Ргор < Рск + Рпл и должно быть исключено из учебной литературы по физике пласта. Вместо него следует пользоваться уравнением (28).

ЛИТЕРАТУРА

  1. Гиматудинов Ш.К., Ширковский А.И. Физика нефтяного и газового пласта: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1982.
  2. Котяхов Ф.И. Физика нефтяных и газовых коллекторов. - М.: Недра, 1977.
  3. Терцаги К. Теория механики грунтов. -М.: Госстройиздат, 1961.
  4. Щелкачев В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. - М.: Гостоптехиздат, 1959.

ABSTRACT

The present article deals with the known formula in petrophysics describing a relationship between rock pressure, rock skeleton stress and saturated liquid pressure. Author proves that this formula is against the physics laws and therefore a rated rock skeleton stress appears to be too low, and suggests to exclude it from petrophysics text-books. Considering that formation pressure counteracts rock pressure not over the whole area of rock section but only at localities occupied by a liquid, the author suggests his own solution of the problem and derives a formula complying with physical reality.

СХЕМА ТЕРЦАГИ ДЛЯ ИСПЫТАНИЯ ГРУНТОВ

1 - образец; 2 - резиновая оболочка; 3 - металлическая пластина; 4 - фильтрующий камень; 5 - свинцовая дробь; К - кран; М - манометр